提升國民小學數學補救教學成效之探討

一、數學基礎教育亟待改善

    從學科的特性來看，數學是一個結構嚴密且層次分明的學科，數學的學習強調循序累進的邏輯結構（教育部，2003；NCTM, 2000），其內容包含數與計算、測量、幾何、代數、統計與機率等，每個學習範疇都有各自的學習順序，使學生從基本的概念理解開始，到逐漸加深、加廣的應用解題。嚴謹的邏輯結構和順序，是數學知識的主要特色之一，進行教學時尤其強調數學概念的邏輯結構與順序特性，進而培養學生推論與創造的能力。

    數學存在於生活中，在教學過程中，透過教師的提問與引導，希望學童能藉由生活經驗與操作，察覺數、量、形的規律，進而理解數學知識與數學概念的意義，用來解決生活上的問題。國小數學教學並不僅是培養學童基本運算能力，更重要的是希望孩子透過數學學習過程培養分析思考、邏輯推理和創新的能力，在生活情境中隨時發揮所學應用於生活問題的解決。學童在學習數學知識過程中，若對其中某些數學概念無法理解或有學習遺漏之處，在進行下一個延伸概念之學習也同樣無法理解其意義，更無法應用於解決數學問題。

    國內學生的數學學習成就逐漸形成雙峰現象，在十年前就已見端倪。林煥祥等人（2008）指出，臺灣學生在PISA 2006數學的表現相當亮眼，但整體而言，學生數學素養高分組和低分組卻呈現明顯的差異幅度；研究結論也強調臺灣教育在追求整體高數學素養表現的同時，也應力求縮短學生在數學學習個別差異的幅度。近十年臺灣參加全球PISA學生能力國際評量測驗，在數學素養成績的表現雖優異，但也同時發現，台灣數學學習落後的學生比例比其他國家高，呈現嚴重的M型雙峰分布，全球數學素養第一名的國家和最後一名的國家相差245分，但是台灣內部受測成績最好和最差的學生差距卻超過300分，相當於七年的受教時間。換言之，測驗對象的高一學生（十年級），數學程度可能只有小學三至四年級。

    國際教育成就調查委員會（簡稱IEA）主辦TIMSS（ 2007）調查四年級與八年級學生「數學與科學教育成就趨勢」研究，調查結果亦指出，台灣國二生的數學雙峰現象比新加坡、香港、韓國等國明顯許多，尤其在低分群方面，台灣有5%未達到初級標準，而韓國和新加坡僅2%及3%，顯示台灣在中小學數學教學上「帶好每個學生」的目標上仍需再努力。TIMSS（ 2015）調查數據也顯示，我國4年級和8年級學生雖然成就表現優秀，但對於數學、科學的學習興趣卻相對偏低，表現最差的是4年級學生對數學的興趣，在49的國家中排名第48，學生對數學的熱情只贏過韓國。

    國語、數學能力是學生應備的重要學習基礎，攸關日後學習的發展。面對數學低成就學生人數日益增多的嚴重情形，教育部僅表示這和學生的社經背景、城鄉差距相有關，強調將透過數學補救教學，弭平城鄉差距，並且挹注民間資源，縮短數學的雙峰現象。教育部雖連續每年投注幾十億元於國小語文、數學、英文進行補救教學，民間團體也積極投入協助低成就學生進行教學輔導，各地方政府更積極辦理補救教學講師培訓、教學輔導研討、學校訪視等。幾年下來，訪談現場教師均表示實施困難、成效有限，其中以數學補救教學課程教材和教學輔導策略最感困難與頭痛。

 二、當前國小實施補救教學的現況與困境

     從補救教學的觀點來看，補救教學是對學生的學習困難進行診斷，並根據診斷的結果進行課程與教學的規劃，以解決其學習困難（林寶山， 1998）。接受補救教學的學生，通常自信不足，因此在補救課程的規劃 上，要考慮由易至難、由簡而繁等原則，才能重新建立學生的自信與學習 動機。同時，課程也應具高度的結構性且學習目標明確，才能讓學生掌握 學習的焦點（張新仁，2001）。結合數學學科特性與補救教學的觀點，發現攜手計畫數學補救課程宜在學生已有的數學知識上，根據數學知識的結構與順序進行規劃，設計合適的數學補救教學的課程，才符合補救教學強調分析學生學習能力、擬定課程目標、選編合適教材的主張（張新仁， 2001）。

    數學教學主張教師在教學時應提供支持學習的環境、適當的挑戰、以及提供協助與策略來幫助學生進行有意義的學習（Feldman, 2003）；或以學生有意義的事物為起點，發展理解、解釋的數學對話（Fuson et al., 2000）。因此，教師在進行數學補救教學時，除了要顧及學生的基本能力與學習興趣外，還需鼓勵學生說出想法，才能在學生思考與能力的基礎 上，提供策略與協助，逐漸讓學生達成該年級的學習目標。這樣的教學可從教師設計的數學習題（tasks）、營造的學習環境（learning environment）、 及師生進行的討論（discourse）三個面向來檢驗（Artzt 與 Armour-Thomas （2002））。

    從過去數學補救教學的相關研究來看，協助數學學習落後學生的有效教學包括：明確 （explicit）且系統化的教學、提供概念的視覺表徵、讓學生表達他們思考的過程、以及仔細選擇與編排教學的內容（Doabler, Fien, Nelson-Walker, & Baker, 2012）。其中第四個原則是偏向課程的選編，第一個原則偏向以教師為中心，將數學問題分割成幾個小步驟，透過教師清楚且明確示範、學生的練習與提供回饋，來提升學生的學習表現。

    徐偉民、劉曼麗(2015) 以高屏地區國小教師為主，研究方法採用教學觀察與訪談、問卷調查兩階段混合設計，進行「國小攜手計畫數學補救教學課程決定與教學實施之探究」，從其研究結果顯示，當前國小實施補救教學的現況有以下三項弱點：

(一)數學補救教學以概念與計算問題為主，採先全班講述再個別練習與指導的方式進行。

    徐偉民、劉曼麗(2015) 在教學觀察與訪談階段發現，教師數學補救教學以概念與計算問題為主，先以例題進行全班講述後，再進行個別的練習與指導，而問卷調查也得出類似的結果。類此攜手計畫數學補救教學的焦點放在基礎概念的理解，與計算的熟練，並且是在教師為中心的示範與指導下來進行，難以發揮數學補偏救弱效果。

(二)數學補救課程以學生原年級教科書為主，並未根據學生的程度重編教材

    雖然教師在訪談中表示根據學生程度來決定補救課程，但由於學生程度不一，且不確定學生的起點行為，所以採用學生原年級的數學教科書作為主要的補救課程，並在教學中來調整內容。問卷調查的結果呼應了這樣的結果。這表示教師在實施攜手計畫數學補救教學時，並未選編或規劃適合學生起點行為的補救課程，未能銜接學習，成果低落。

（三)參與學生的程度落差大，讓教師在補救課程決定與教學實施時感到困難

    徐偉民、劉曼麗(2015)兩階段的研究結果中都發現，教師在實施數學補救教學時，由於學生程度落差大，使他們在課程決定與教學實施上感到困難，雖然尋求校內其他教師的協助，但似乎並未解決教師在課程決定與教學實施上的困難。

    徐偉民、劉曼麗(2015)研究指出，約8成左右教師表示在課程決定和教學實施上有困難，並建議未來研究宜針對數學補救課程教材與教學策略兩方面提供現場教師的協助。

    再者，本人長期擔任新北市數學領域輔導團國小組召集人，並曾擔任教育部100-101年度國民小學各年級數學基本關鍵能力與試題教材研發實施計畫之主持人，負責擬定國民小學各年級數學基本學習內容，並依國民小學各年級數學基本學習內容編輯各年級數學補教教學檢測試題，進行各年級數學檢測試題組卷、試題分析等工作，亦依國民小學各年級數學基本學習內容編輯各年級數學補教教學教材內容，然而進行時間匆促，無法完善呈現。在辦理北、中、南、東四區國小數學領域補救教學公聽會時，蒐集來自各師培教育機構及各縣市數學輔導員、國小教師之問題與建議，例如：低成就學生不須學習太深，只要基本概念的做和溝通的能力即可（有機會表達和應用）；提供建議的活動/教具，發展一些建議的教學活動，強調實做和表徵的溝通；或是錄製線上課程和實體課程的結合；教材應以分散式的螺旋編序方式編輯，期待有一套孩子可自學的教材；檢測學生的數學迷思概念，施以關鍵的補救教學；補救教學之教材編寫採編序方式撰寫，這樣才能循序漸進引導低成就學生了解數學概念等(李美穗，2013)。

     因此本文依據徐偉民、劉曼麗(2015)研究結果及建議，並彙整國小數學領域補救教學公聽會之建議(李美穗，2013)，針對國小數學補救教學之課程教材與教學策略深入探討，並提出解決策略以供國小現場實施數學補救教學之教師參考。

三、提升國小數學補救教學成效之策略

  (一)調整課程與教材內容

   1.現況檢討

    所謂「萬事起頭難」，教育部從101學年度積極推動國小數學、語文、英語補救教學以來，雖投入幾十億元的經費，然而實施成效有限，從各縣市教育局處所辦理的年度補救教學訪視或檢討會，只見教學現場老師抱怨不已，可見一斑。實施補救教學計畫時感到困難事項，包括對教學活動設計、系統化教材與標準化評鑑編製等相當生疏。尤其是數學方面，面對程度不一，不同迷思概念的學生，無法決定數學教學的內容與編訂適合的教材，且教學實施時未能針對學生程度提供適性有效的補救教學，以致實施成效有限。

    過去研究文獻指出， 數學學習困難的學生通常在概念理解與程序流暢上會有困難（Fuchs et al., 2010; Gersten, Jordan, & Flojo, 2005），而且數學學習應包括概念性知識與程序性知識（Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001）。據此在數學補救教學課程規劃上，教師須先考量學生已具備的數學知識，在其基礎上根據數學知識的邏輯結構與先後順序，研發組織有系統性的數學補救教學課程；在教學實施上，教師亦應設計符合不同程度學生起點行為的教材和習題，在教學過程中提供多元表徵與實作，協助學生進行概念的探索與理解，並在探索與實作的學習環境中，透過提問引導學生表達自己的想法與解題的練習，以達成數學概念理解與程序熟練的目的。

    依據徐偉民、劉曼麗(2015)國小攜手計畫數學補救教學課程決定與教學實施之探究的問卷研究結果顯示，國小教師進行數學補救教學時，並未精確地根據學生的起點行為，來進行課程的規劃與決定，且教師表示執行數學補救教學最大的困難之一，便是缺乏適合學生程度的數學補救教材。因此，發展適合不同學習程度學生、且符合數學概念階層的國小數學補救課程，是目前數學補救教學實施的當務之急。

2.改革建議

    數學補救教學課程的合適程度，將是影響數學補救教學成效的關鍵，各校進行數學補救教學之課程教材，有下列幾個途徑提供參考應用：

  (1)教育部公告的數學補救課程（http://priori.moe.gov.tw/）

    教育部公告的數學補救教學補充教材，係以數學分年細目為基

礎所擬定的基本學習內容，根據數學各主題軸的數學概念結構所編輯的補充教材，教師可結合診斷評量的結果，依學生的數學迷思概念選擇適合學習的課程教材。

  (2)民間發展的數學補充課程教材

    針對國內日益嚴重的數學低成就學生增多之情形，關心國家教育品質提升的企業及教育家，紛紛挺身而出，有錢出錢、有力出力，提供數學補救教學資源並協助各校進行補教教學，例如：永齡基金會的數學課程教材與教法、博幼基金會的數學課程教材與教法、中華功文式數學課程教材、均一平台的數學影音教學影片等，亦能提供教學現場教師實施數學補救教學之參考使用。

  (3)依數學課程概念地圖選編教材

    依國家書面課程--能力指標的分年細目為基礎，根據分年細目中呈現的數學概念，再分析成初階概念，採編序方式(註1)撰寫數學補救教學教材，循序漸進引導低成就學生理解數學概念，進而能應用解題。亦可採用徐偉民（2011）發展的模式，以能力指標的分年細目為基礎，根據分年細目中呈現的數學概念結構，由基礎概念到進階應用的歸類與重組，形成不同回合的學習主題，以適合不同程度的學生。

    擔任國小數學補救教學之教師，必須熟稔國小各主題數學課程概念地圖，透過數學學習診斷評量的結果，依學生的數學迷思概念選擇適合學習的課程教材；或透過數學概念的編排，在符合學生起點行為與數學概念邏輯結構的前提下，參考教育部或民間提供的數學補充教材，發展適合低成就學生的數學補救課程。

(二)改善教學輔導方法

1.現況檢討

    對於數學低成就學生實施補救教學，並不同於一般數學教學，但學校現場經常見到教師只是將當天數學課程再重複教一遍，忽略學生的數學迷思概念，所以學生依然不懂也不會解題。甚至部份數學課程與教學變成安親班形式，只重視回家作業的書寫，忽略補教教學的實施。研究者曾接過一個個案，案主是一位自小學二年級開始連續三年接受學校數學補救教學的五年級學生，經過數學學習診斷，發現在整數與計算方面，僅有二年級程度，位值之間的關係、分數、小數完全沒有概念，九九乘法不熟練，無法進行除法計算，在量與實測方面，缺乏單位量感與兩單位間的關係，更遑論是幾何的平面圖形構成要素、性質，亦不會使用量角器測量角度等等。此個案說明學校並未使用正確的數學補救教學策略，以致學生花費三年時間仍然停留在二年級的數學程度。

    徐偉民、劉曼麗(2015)研究發現，現場教師實施攜手計畫數學補救教學時，大都以教師的示範、講解、練習與回饋為主，較少採以學生為中心的方式進行，這將使低成就學生的學習聚焦在技巧的熟練，而非在概念的理解與探索，這恐將影響學生未來高層次數學的學習。該研究並指出未來在進行相關師資培訓時，應針對有效數學補救教學的策略進行探究，並提供教師相關的協助，以利數學補救教學的實施與成效。

    數學教學主張教師在教學時應提供支持學習的環境、適當的挑戰、以及提供協助與策略來幫助學生進行有意義的學習（Feldman, 2003）；或以學生有意義的事物為起點，發展理解、解釋的數學對話（Fuson et al.,2000）。對於數學學習困難的學生，尤其更須提供明確且有系統的數學概念結構課程與教學引導，亦應提供學生操作教具、圖像表徵的機會，更重要的是培養學生透過數學思維，應用數學語言表達想法的能力，總之，兼顧教師的問題引導、解題示範與學生的思考、探索，才能培養學生完整的數學知識與解題能力。

2.改革建議

    鑒於相關研究與文獻，本文提出國小實施數學補救教學之改革策略如下，以供現場教師參考使用：

  (1)進行學力診斷，找出學生數學迷思概念，據以編選教材內容與進度

    教師可透過數學學習診斷評量分析，了解學生的數學迷思概念為何，再進行數學概念與脈絡分析，以學習者為中心設計課程(評量與學習活動)。例如：三年級學生在加法進位與減法退位計算有困難，必須回溯到一年級數的合成與分解，透過花片、畫圈與生活情境問題引導，讓學生理解任何一個數都能分解成兩個數，任兩個數也能和成一個數，進而理解7＋8＝5＋2＋8＝5＋10＝15，將算式中的7分解成5和2，先算2加8等於10，再加5等於15的解題方式，也可將算式中的8分解成3和5，先算7加3等於10，再加5等於15的解題方式，學會加法進位的計算。再透過加減互逆關係，理解15－8＝10－8＋5＝7的減法退位計算。當學生學會加法進位與減法退位計算後，自然能產生學習遷移，應用於二位數、三位數的加法進位與減法退位計算之解題。

  (2)善用波利亞(G.polya)解題步驟，引導學生進行解題

     被尊稱為「數學之父」的波利亞(G.polya)於1944年出版「怎樣解題」一書，強調數學是一個解決問題的過程與結果，在解題過程中教師要如何引導學生透過四個學習階段，①思考問題、了解問題，②擬定解題計畫，③進而執行計畫解決問題，④最後能經由回顧整個求解的過程，再次去驗算答案與思考解題的過程，加深對數學知識的理解及培養解題能力。

    因此，進行數學補救教學，必須以問題引導學生進行解題，其解題步驟為：①澄清問題，了解題意；②擬定解題計畫：引導學生列出解題的算式或做法；③執行解題計畫：提醒學生檢查每一個步驟；④回顧與驗算。尤其在第一、二階段尤屬重要，教師善用提問的方法與技巧，協助學生澄清問題，了解題意，思考並擬定解決問題的計畫，到了第三階段，學生可透過示範與練習，檢查每一個解題步驟，自然就能解決問題。最後回顧與反思的階段，是提供學生發現數學規律、樣式與理解數學知識的機會。教師如能善用波利亞(G.polya)解題四大步驟，引導學生進行思考與解題，發現數學概念結構，必能提升學生學習數學的動機與能力。

  (3)操作教具、圖像表徵，增進數學概念的理解

    數學存在於生活中，生活中處處可見數學，例如數、量、形、統計圖表等，無時無刻出現在我們生活周遭。因此，進行數學補救教學時，教師可善用數學教具引導學生操作，例如：透過白色積木(表徵1)、橘色積木(表徵10)、百格版(表徵100)、千塊板(表徵1000)，經由具體量(積木)、半具體量(圖像表徵—畫圈) 的操作，透過數量、數詞、數字的整合，進而形成數的概念；亦可操作古氏積木認識倍的語言，理解乘法的意義，熟練九九乘法。在幾何空間概念的形成，更需透過教具的操作，強化學生的理解與應用，例如：透過幾何扣條，引導學生操作不同長度的扣條組成一個三角形，進而發現任兩邊長的和等於或小於第三邊，是無法組成三角形；能組成三角形的三個邊，任兩邊長的和一定大於第三邊。

  (4)善用提問方法與技巧，培養學生思考與表達習慣

    選用好的提問方法與問題，不僅能幫學生逐一搭起學習的鷹架，更能從中培養學生數學思維與數學語言表達的能力。教師使用提問時，必須從一般問題逐步到特殊問題，不能跳躍過快，學生自然可獲得充分的參與感。提問的方法更是不能一成不變，尤其是數學思維的啟發，最忌諱硬性、機械式的程序，而是允許某種程度的彈性與變化，更要鼓勵學生從不同角度或方式進行數學解題。

    在提問技巧方面，教師可善用提示、澄清、轉問、轉引等技巧，協助學生澄清問題，了解題意，更重要的是透過轉引、轉問的方式，一來可激發學生思考不同的解題方式，二來也讓學生聆聽多樣的解題策略，理解並判斷哪些是簡短有效的解題方法。

  (5)結合電腦科技與編序教材，提供預習與複習

    進行數學補救教學，亦可依國小數學分年細目之數學概念，選用或編寫數學補救教學課程教材，指導低成就學生使用電腦科技進行數學補救教學，例如：利用Scratch設計數學遊戲打地鼠—認識真分數、假分數與帶分數，強化學生對於分數概念的理解；亦可透過PPS呈現數學補救教學教材，發揮提問與示範解題的功能，逐步引導學生進行數學概念的學習與理解，進而發揮創造思考，從問題解題的結果思索更多不同且有效的解題方式。

    研究者於100~101年度主持教育部編寫國小數學補救教學基本學習內容暨試題、補充教材之研發計畫，由於研究時間有限，無法完整呈現國小一至六年級數學補救教學課程。退休後繼續研發，依據教育部97年數學課程綱要之分年細目進行數學概念分析，完成國小一至六年級數學補救教學課程教材，並將之製作成PPS數學教學媒體，提供現場數學教學使用，尤其應用在數學低成就學生的補救教學，更發揮其功能，提升學生學習數學的信心與能力。

四、結語

    「工欲善其事，必先利其器」，面對數學低成就學生進行數學補救教學，唯有做好事前的準備—精確的數學學習診斷分析、完善的數學補救教學課程設計、多元有效的教學輔導策略，才能真正發揮數學補救教學的功能，落實「把每一個學生帶上來」的目標。

［註1：編序教學是西元1959年美國教育學家史欽納（B. F. Skinner）所提出的「自我學習」教學型態。其特點是把要學習的各種課題按照關聯性及難易度，細分成概念小單元，再依其邏輯順序依次編列，形成方便個人自主地由易而難進行學習。］

參考文獻：

李美穗(2013)。100~101年度教育部國小數學補救教學基本學習內容暨試題、補充教材之研發計畫研究報告。臺北市：教育部。

林寶山（1998）。教學論：理論與方法。臺北市：五南。

林煥祥編 (2008)。臺灣參加PISA 2006成果報告(NSC95-2522-S-026-002), 花蓮市: 國立花蓮教育大學.

徐偉民（2011）。把數學學習弱勢的孩子帶上來：學校本位國小數學補救教學模組的開發與應用－國小中年級數學補救教學模組的開發與應用。行政院國科會科學委員會專題研究（計畫編號：NSC 99-2511-S-153-013），桃園市，中原大學。

徐偉民、劉曼麗(2015)。國小攜手計畫數學補救教學課程決定與教學實施之探究。當代教育研究季刊，23，1，113-147。

教育部（2003）。國民中小學九年一貫課程綱要：數學學習領域。臺北市：教育部。

張新仁（2001）。實施補救教學之課程與教學設計。教育學刊，17，85-106。

波利亞(G.polya，1944)著，蔡坤憲譯(2006)。怎樣解題。臺北市：遠見。

Artzt, A., & Armour-Thomas, E. (2002). Becoming a reflective mathematics teacher:

    A guide for observations and self-assessment. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Doabler, C. T., Fien, H., Nelson-Walker, N. J., & Baker, S. K. (2012). Evaluating three

     elementary mathematics programs for presence of eight research-based

     instructional design principles. Learning Disabilities Quarterly, 35(4), 200-211.

     doi: 10.1177/0731948712438557.

Feldman, A. (2003). Mathematics instruction: Cognitive, affective, and existential

    perspectives. In J. M. Royer (Ed.), Mathematical cognition (pp. 147-174).

    Greenwich, CT: Information Age.

Fuson, K. C. et al. (2000). Blending the best of the twentieth century to achieve a

    mathematics equity pedagogy in the twenty-first century. In M. J. Burke & F. R.

    Curcio (Eds.), Learning mathematics for a new century (pp. 197-212). Reston,

    VA: NCTM.

Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: Helping   

     children learn mathematics. Washington DC: Mathematics Learning 

     Study Committee.

Mullis, I. V.S., Martin, M. O., & Foy, P. (2008). TIMSS 2007 international mathematics   

     report: Findings from IEA’s Trends in International Mathematics and Science 

     Study at the fourth and eighth grades. TIMSS & PIRLS International Study Center, 

      Lynch School of Education, Boston College.